Barišić se formó en el Osijek de su país, donde permaneció desde el 2013 hasta 2018, con una temporada entre el Dinamo de Zagreb y el NK Lokomotiva. Sus cualidades llamaron la atención de varios clubes europeos, siendo el Glasgow Rangers el equipo que se hacía con sus servicios en verano de 2018. Con los escoceses ha desarrollado la mayor parte de su carrera, disputando seis temporadas, 236 partidos oficiales en los que marcó diez goles y dando hasta 54 asistencias, y logrando tres títulos.
Barišić acumula más de ochenta partidos de experiencia en competiciones europeas entre Liga de Campeones, Europa League y Conference League. Uno de ellos fue la final de la Europa League del 2022, en la que el Rangers cayó ante el Eintracht de Frankfurt en la tanda de penaltis. Tras salir el pasado verano de Escocia, ha disputado la primera parte de la temporada en el Trabzonspor turco, participando en quince encuentros oficiales.
A nivel de selección, Barišić ha sido 35 veces internacional absoluto con Croacia, disputando, entre otras competiciones, la Eurocopa 2020, el Mundial de Qatar 2022, en el que se hizo con la tercera posición, y la fase final de la Liga de Naciones de 2023, llegando hasta semifinales.
2013-2015: NK Osijek
2015-2016: Dinamo de Zagreb / Lokomotiva Zagreb
2016-2018: NK Osijek
2018-2024: Glasgow Rangers
2024-2025: Trabzonspor / C.D. Leganés