Formado en el Partizán de Belgrado, con quien debutó en Primera División en el año 2010 y donde permaneció hasta 2016, con el único paréntesis de una cesión al Smederevo, Brašanac cuenta con una amplia experiencia en la élite del fútbol español, habiendo jugado en la máxima categoría durante las últimas siete temporadas y media.

Darko llegó a nuestro país en el verano de 2016, cuando recaló en el Real Betis. Al año siguiente fue cedido al Leganés de Asier Garitano, donde disputó un total de 28 encuentros en los que anotó dos goles, frente a Villarreal y Real Madrid, dejando muestras de sus cualidades futbolísticas además de una profesionalidad y valores acordes con los que siempre han caracterizado al club.

El Deportivo Alavés fue su destino en la 2018/19, una campaña tras la cual fichó por el C.A. Osasuna. Con el equipo navarro jugó durante cuatro temporadas y media, siendo pieza clave en varias de ellas hasta llegar a los dos centenares de partidos oficiales en nuestro fútbol antes de regresar en enero de 2024 a Butarque para jugar la segunda vuelta como pepinero y ser parte del equipo que logra el ascenso a LALIGA EA SPORTS.

2009-2011: Partizán de Belgrado
2011-2012: Smederevo 1924
2012-2016: Partizán de Belgrado
2016-2017: Real Betis
2017-2018: C.D. Leganés
2018-2019: Deportivo Alavés
2019-2023: C.A. Osasuna
2023-2024: C.A. Osasuna / C.D. Leganés
2024-2025: C.D. Leganés